Enseigner l'utilisation de la calculatrice ou enseigner avec la calculatrice ?



Les programmes officiels  insistent explicitement sur ce que les élèves doivent savoir faire à l'aide de leur calculatrice. Pourtant, les objections en salle des professeurs sont nombreuses et récurrentes :

  • « Nous ne sommes pas là pour leur apprendre à cliquer sur des touches » (variante : « Nous ne sommes pas des formateurs  TI  ou Casio »)
  • « Le temps passé serait bien plus utilement employé à renforcer leurs compétences en calcul algébrique. »

En outre, dans l'enseignement supérieur, l'usage des  calculatrices graphiques n'est pas toujours autorisé.


  • Dès lors, pourquoi investir dans un savoir qui ne servirait que pour le cadre du lycée, et lors de l'épreuve du baccalauréat ?

Au cours des presque trois années pendant lesquelles j'ai enseigné en 2nde, j'ai peu à peu dégagé ici et là des utilisations ponctuelles, dont je m'aperçois aujourd'hui qu'elles forment un ensemble cohérent favorisant réellement l'apprentissage et la réflexion des élèves, en particulier en analyse.


Les objectifs pour la 2nde

A partir du programme officiel, et compte-tenu des besoins ultérieurs en Première, toutes séries confondues, je retiens comme savoir-faire à maîtriser  :


Sujet
A maîtriser
Pour les « rapides »
Etude de fonction 
(Expression de f et domaine de définition donnés)
  • Tableau de valeurs
  • Réglage de la fenêtre et visualisation de Cf
  • Résoudre graphiquement formule
  • Extremum de f
  • Résoudre graphiquement , formule

Statistiques
  • Saisir une série statistique simple ou avec effectifs
  • Calculer les grandeurs statistiques usuelles
  • Calculs sur les listes
    (passage des effectifs aux fréquences, calcul des fréquences cumulées …)
  • Visualisation graphique (histogrammes essentiellement)

Les autres sujets du programme (simuler une expérience aléatoire sur calculatrice ou avec un logiciel par exemple) sont expérimentés en classe, mais ne donnent pas lieu à un apprentissage en tant que tel.


Comment l'enseigner  ?



Après deux ans d'échecs répétés, j'ai abandonné les séances d'une heure entière de type « les fonctions et la calculatrice » ou « les statistiques à la calculatrice », où les élèves, guidés par une fiche méthode complète, pédagogue, détaillée …  découvrent toutes les fonctionnalités liées à l'une ou l'autre de ces thématiques. Bien que la fiche soit claire, synthétique et « collée dans le cahier », les élèves semblent ne rien retenir de la séance de découverte.

Je répartis désormais l'apprentissage au fil des séances, par séquences d'1/4 heure visant l'acquisition d'un concept ou d'une fonctionnalité, avec exercice de reprise à la maison et mise au programme du mini-test de la semaine.

Par exemple, pour les fonctionnalités liées à l'étude des fonctions numériques, je répartis les mini-séances d'apprentissage ainsi :



Chapitre

Compétence

De la formule à la fonction (« Fonctions 1 »)
Tableau de valeurs
Variations de fonctions  (« Fonctions 2 ») : 
Définitions (croissance, extremum...)

Séance 1 : Réglage de la fenêtre et visualisation de Cf

Séance 2 : Déterminer graphiquement un extremum
Variations de fonctions  ( « Fonctions 2 ») : 
Résolution graphique.

Résoudre graphiquement :

Séance 1 : formule




L'analyse en 2nde avec la calculatrice


En réalité,  ce passage d'une grosse séance d'apprentissage à un ensemble fractionné adapté au contexte étudié, bien que motivé à l'origine par un souci d'efficacité pédagogique, traduit surtout le passage de l'application d'une directive du programme (« savoir effectuer telle ou telle tâche à la calculatrice ») à l'utilisation de la calculatrice comme outil  d'enseignement.

En effet, un petit dessin valant souvent mieux qu'un long discours, je me suis rendu compte à quel point le fait de voir la courbe pouvait aider les élèves  dans l'étude d'une fonction, la résolution d'une équation, d'une inéquation... Les élèves peuvent utiliser la courbe en analyse comme l'on utilise la figure en géométrie : pour avoir une vision d'ensemble de la situation, conjecturer des solutions ou les vérifier.

Or, le tracé point par point est comme chacun sait long, fastidieux, et lorsqu'effectué par les élèves, très long et très fastidieux. D'où l'idée du recours à un grapheur. Nous ne sommes pas encore à l'ère d'un ordinateur par élève dans chaque salle de classe ;  la calculatrice graphique peut jouer ce rôle de grapheur individuel, sur le coin de la table de chaque élève.

Dès lors, la calculatrice (grapheur) devient un outil à la fois de découverte des fonctions (allure de la courbe représentative d'une fonction affine, d'une fonction polynômes de degré 2, etc.) et de conjecture/vérification des solutions algébriques. Ponctuellement, elle permet en outre de résoudre numériquement une équation dont le traitement algébrique n'est pas accessible à un élève de 2nde, par exemple dans les problèmes d'optimisation.


Le tableau ci-dessous présente, par chapitre, où et comment mes élèves utilisent leur calculatrice dans le cadre du cours :



Chapitre / notion

Usage de la calculatrice / → objectif

Remarques

Fonctions 1 :

Tableau de valeurs
Utiliser les valeurs de la « table de valeurs obtenue avec la calculatrice pour tracer Cf à la main.

→ expérimenter la notion de courbe représentative
Intérêt du tracé à la main :
  • Acquérir le réflexe « antécédent en abscisse, image en ordonnée »
  • Assimiler que si M est sur un ordonnée Cest l'image de son abscisse.

Fonctions 2 :

Visualiser Cf


Trouver graphiquement un extremum / un antécédent.


Résoudre graphiquement à l'aide de la calculatrice.(1)

Assimiler que « La courbe est à la résolution algébrique ce que la figure est au raisonnement géométrique. »


(1) On fait en temps utile, avec un exemple bien choisi, la remarque, que la courbe affichée à l'écran n'a pas valeur de preuve, ce qui légitime la résolution algébrique.



Résolution numérique de problèmes d'optimisation

Exercices du type :

On donne l'expression d'une fonction (en général polynôme de degré 2) → Résoudre f(x) = k (ou déterminer un extremum)
  • Graphiquement (valeur approchée à  la calculatrice)
  • Algébriquement (l'énoncé donne si nécessaire la forme canonique ou la forme factorisée).
Au programme de 2nde.
Fonction affine 
(découverte) :

Rôle de m (et p)
Activité de découverte où les élèves visualisent plusieurs courbes Cf pour f définie par f(x)= mx + 1 avec m prenant les valeurs : 1, 2, 3, -1, -2, -3

Idem en faisant varier p .


activité de découverte de la notion de fonction affine, coef directeur, ordonnée à l'origine

Facilite l'assimilation de l'idée que m est la « pente » de la droite.
Fonction carré
Fonction inverse :

Encadrement d'images
Déterminer «à la main»(2) la fenêtre optimale permettant de voir Cf pour x∈[a,b] (a et b valeurs numériques connues).


→ donner une utilité pratique aux exercices d'encadrement d'images


(2) En raisonnant sur l'allure de la courbe tracée à main levée, pas avec « zoom auto »

Variante illustrée de l'exercice classique :  «encadrer f(x), connaissant un encadrement de x.»
Polynôme de degré 2 (découverte)

Visualiser l'influence des paramètres a,b et c sur Cf




Activité découverte où les élèves visualisent(3) plusieurs courbes Cf pour f définie par f(x) = a x 2 avec a prenant les valeurs :  1, 2, 3, -1, -2, -3


f(x) = 2x + c avec c prenant les valeurs +2, +3, -2, -3…


f(x) = 3x2+bx avec b prenant les valeurs :  1, 3, -1, -3


→ activité de découverte de la notion de fonction polynôme de degré 2


(3) Réglage de la fenêtre :
Xmin= -10 Xmax=10
Ymin= -20 Ymax=20 pas : 5


Les élèves passent de la fonction carré aux fonctions polynômes de degré 2 en découvrant visuellement l'influence des coefficients a,b et c.


Polynômes de degré 2

Résoudre f(x)=0 et f(x) ≤0
Visualiser l'allure de la courbe et résoudre graphiquement.

→ conjecture/vérification de la solution algébrique (équation produit quotient ou tableau de signes). 
La résolution algébrique est «longue» pour des élèves de 2nde, et semée d’embûches.

Le lien entre résolution algébrique et graphique :

  • Encourage le raisonnement autonome : « tu peux vérifier toi-même ta solution » 
  • Explique visuellement le type de solution(4) trouvée (un ou plusieurs réels, un intervalle ou une réunion d’intervalles)
Fonctions homographiques :

Résoudre f(x)=k et f(x)≤k

(4) Dans l'esprit de beaucoup d'élèves, une « équation » est nécessairement une équation du premier degré à une inconnue, et a une unique solution. Il leur faut beaucoup de temps pour abandonner ce paradigme et s'habituer à l'idée que la solution est parfois un réel, parfois deux réels, parfois un intervalle, parfois une réunion d'intervalles....  Le support visuel d'une courbe représentative peut les y aider.


Conclusion

Ainsi, tout au long de l'année, les élèves effectuent un va-et-vient permanent entre l'allure de la courbe et la forme algébrique correspondante :

La possibilité de visualiser des courbes valides aux yeux des élèves montre l'intérêt de savoir résoudre graphiquement des équations. Plus généralement elle justifie de savoir raisonner sur l'allure de la courbe représentative, donnant tout son sens à la connaissance des fonctions de référence. 
De plus, les élèves acquièrent progressivement une certaine familiarité à traduire graphiquement les formes algébriques qu'ils rencontrent. Cela leur  permet  d'avoir une vue d'ensemble des  problèmes qu'ils étudient et de conjecturer la nature des solutions qu'ils recherchent, ou d'en valider la vraisemblance, de la même façon qu'ils le faisaient en géométrie au collège avec des figures.  

Bilan

Le premier avantage, et non le moindre, est de donner confiance aux élèves : ils peuvent vérifier par eux-mêmes la vraisemblance de leur résolution algébrique, et ne dépendent plus entièrement de la parole du professeur pour la validation de leur travail. Exactement comme le maçon vérifie l'ordre de grandeur de sa commande de béton, ou le boulanger  sa commande de farine. En ce sens, ils se préparent à leur vie adulte.

Le deuxième avantage est de redonner à la résolution algébrique sa juste place de  moyen technique de preuve ou d'obtention des valeurs exactes des solutions, là où les élèves auraient tendance à penser qu'elle constitue l'essentiel de l'activité mathématique. Ils peuvent ainsi distinguer ce qui relève du raisonnement (à comprendre) de ce qui relève du savoir-faire (à apprendre), et gagner ainsi en efficacité, et en plaisir dans leur travail.

Dominica Martin - Mai 2016

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