J’ai enfin réussi à enseigner la dérivée


Avant-propos : le Nil est le plus long fleuve d'Afrique…

Grande-Bretagne, en l'an 214 de Notre Ford,
- Tommy (...), sais-tu quel est le plus long fleuve d'Afrique ?
Des signes de tête de dénégation.
- Mais ne te souviens-tu pas de quelque chose qui commence ainsi : Le Nil est le … ?
- Le-Nil-est-le-plus-long-fleuve-d'Afrique-et-le-second-pour-la-longueur-de-tous-les-fleuves-du-globe...
- Et bien, dis-moi maintenant, quel est le plus long fleuve d'Afrique ?
Les yeux sont ternes.
- Je n'en sais rien (…)
Aldous Huxley – Le meilleur des mondes – chapitre 2

France, en l'an 2015 de l'ére chrétienne
- Thomas (...), sais-tu comment lire le nombre dérivé en 2 sur ce dessin ?
Des signes de tête de dénégation.
- Mais ne te souviens-tu pas de quelque chose qui commence ainsi : Le Nombre Dérivé est le … ?
- Le-Nombre Dérivé-est-le-coefficient-directeur-de-la-tangente.
- Et bien, dis-moi maintenant, quel est le nombre dérivé en 2 ?
Les yeux sont ternes.
- Je n'en sais rien (…)
Dominique Martin – Ma salle de classe – chapitre 2

Le chapitre « nombre dérivé » est chaque année un chapitre célèbre en 1ère : les professeurs des autres matières en entendent parler avec effarement jusque dans leurs cours...
Pourquoi les élèves rencontrent-ils autant de difficultés ?
Pourquoi si peu d’élèves comprennent la définition « le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente » ?
Comment enseigner plus efficacement et moins douloureusement la notion de nombre dérivé ?

Nouvelles notions

Ce chapitre fait appel à trois concepts nouveaux :
  • la notion de nombre dérivé.
  • la notion de valeur limite
  • la notion de tangente à une courbe.
Or, si le nombre dérivé fait l'objet d'une présentation détaillée, les deux autres sont utilisés en supposant que la compréhension intuitive suffit. Il semble que ce ne soit pas du tout le cas, et que ce soit même la cause de nombreuses incompréhensions.

Et de nombreuses difficultés techniques

Le simple calcul du taux d’accroissement de la fonction carrée mélange plusieurs notions mettant à mal les élèves peu habitués à des calculs un peu exigeants techniquement. Ajoutons à cela que les élèves ne cherchent que rarement à trouver une signification concrète à un calcul littéral.


Mon plan de bataille


Traditionnellement, le plan du cours s'organise en
  1. Taux d'accroissement
  2. Nombre dérivé
  3. Interprétation graphique
  4. Equation de la tangente.

Les parties 3 et 4 concernent l'essentiel des exercices à maîtriser pour la 1ère et la terminale, et ne comportent que peu de difficultés techniques car reposent sur des acquis de 3ème et 2nde (coefficient directeur et équation de droite). Pourtant les élèves semblent rencontrer d'énormes difficultés sur des exercices simples comme lire le coefficient directeur de la tangente en 2 pour trouver f ' (2).

J’en déduis que les parties 1 et 2 bloquent les élèves qui perçoivent alors :
« le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente »
en
« le ??? est le coefficient directeur de la ??? ».
On comprend dès lors les échecs répétés aux exercices de lecture graphique et de tracé de tangentes.

Notons que les parties 1 et 2 qui développent le calcul du nombre dérivé par le taux d'accroissement, n'ont que peu d'utilité pratique dès lorsqu'on dispose des formules de dérivation des fonctions usuelles, voir aucune utilité dans le programme de ES.

D’où l'idée d’inverser le plan et de commencer par étudier les tangentes à une courbe, pour terminer par le calcul du nombre dérivé « à la main » (par la limite du taux d'accroissement). En attendant, on calcule les nombres dérivés avec la fonction adéquate de la calculatrice.

1. Notion de tangente

  1. Intro : prolonger le concept de la tangente à un cercle à la tangente à une courbe
  2. Définition : la tangente en A est la position limite des sécantes (AM) quand M se rapproche « très très près » de A, c'est à dire quand l'écart h de leurs abscisses est presque à 0.
(L'abscisse de A est opportunément nommée x0)


Exercices
  • reconnaître des tangentes 
→ manier la notion de « position limite » des sécantes (AM)
  • identifier l’abscisse x0, l’image de x0 et le coefficient directeur de la tangente
→ manipuler trois nombres pour un seul objet
  • utiliser des tangentes pour tracer l'allure des courbes
→ justifier aux yeux des élèves l'intérêt de ce nouveau concept

2. Notion de nombre dérivé

  1. Intro : la pente de la tangente en x0 est un indicateur de la croissance de la fonction en x0.
  2. Définition : on nomme cette pente le « nombre dérivé de f en x0 »


Exercices
  • déterminer le nombre dérivé à partir d'une tangente à une courbe
→ se familiariser avec la notation f ‘ (x0)
  • calculer f ' (x0) à la calculatrice
→ prendre conscience que le nombre dérivé … est un nombre !
  • tracer plusieurs tangentes sur la même courbe en des points donnés
→ ancrer le lien entre x0 et f ‘ (x0)
  • compléter un tableau x, f(x) et f’(x) et tracer la courbe avec les points et les tangentes

3. Equation de la tangente

Formule y = f’(x0)(x-x0) + f(x0)

Exercices
  • exercices classiques demandant à l’élève de passer d’une représentation à une autre entre
  • le tracer de la tangente en x0
  • l’équation de la tangente en x0
  • le nombre dérivé en x0
  • un exercice pour aider les élèves à distinguer ce que représente y = f (x) (équation de la courbe) et y = m.x + p (équation de la tangente)

En parallèle
Pour préparer la suite, il convient de s’entraîner en parallèle au calcul littéral avec les notations du contexte :
– calculer l'image de 2+h et −5+h pour des fonctions polynômes de degré 2
– factoriser 3x² + 2x, 3h² + 2h , 3h² + h …
– simplifier (12x +3)/3 (pour les élèves qui voudraient « barrer les 3 ») et (2h² + 3h)/h

4. Calcul du nombre dérivé par le coefficient directeur des sécantes


La plupart des problèmes ont été aplanis. Il reste à introduire le concept de limite en faisant remarquer que le nombre dérivé vu précédemment est la valeur limite du coefficient directeur des sécantes. L'aspect concret de la notion de position limite aide à visualiser la notion de nombre limite.
On donne alors la technique et les notations relatives au passage à la limite en 0 : « si h est minuscule, 2h est aussi minuscule, et donc 2h + 3 est presque égal à 3 ».


Définition : le coefficient directeur des sécantes s'appelle « taux d'accroissement entre x0 et x0+h »

Exercices
  • calculs de nombres dérivés de fonctions affines puis de fonctions polynômes de degré 2
  • reprendre les exercices précédents en incluant le calcul du nombre dérivé « à la main »
  • interpréter le nombre dérivé comme une vitesse mesurée sur un temps « minuscule » (absorption d'un médicament par l'organisme, diffusion d'une épidémie …)

La boucle est bouclée


Mathématiquement, est-ce bien « par la fin » que j'ai présenté le nombre dérivé ? Oui, si l'on présente des mathématiques reconstruites à partir d'axiomes, non si l'on reprend le point de vue historique, où la notion de tangente a conduit peu à peu à celle de nombre dérivé.

L'approche axiomatique offre une construction rigoureuse mais coince parfois les élèves sur des difficultés techniques locales. Un élève peut donc alors se laisser conduire dans le raisonnement pour appliquer des recettes sans esprit critique. A l’inverse l’approche “historique” ou par résolution de problème vient donner du sens aux notion et ainsi aide l’élève à raisonner par lui même.

Même si ce chapitre reste difficile pour les élèves, j'ai senti une adhésion de la classe bien meilleure avec cette nouvelle présentation. Le contrôle a été mieux réussi, notamment en ce qui concerne les exercices graphiques. L'interprétation en vitesse instantanée, en revanche, n'a pas été bien comprise. Mais ce n'est que la première année de vie des élèves avec les dérivées, et de nombreuses applications leur seront encore nécessaires pour les employer sans appréhension...

Dominica Martin - février 2016

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