Comment convaincre mes élèves de s'intéresser aux fonctions de référence ?



Par Dominica Martin

Chaque année, en 2nde comme en 1ère, je suis frappée qu'autant d'élèves échouent aux tests portant sur les fonctions de référence, alors que les notions employées sont simples et ne nécessitent la plupart du temps pas de calcul. Comment, après 2h passées à tracer point par point la courbe de la fonction carré, puis résoudre graphiquement des équations de type x²=k et x²≥k , peut-on avoir du mal à tracer l'allure de la courbe représentative de la fonction carré? Mêmes constatations avec le tracé de l'allure de la fonction affine et l'établissement de son tableau de signes.



Je me demande si cela n'est pas lié au fait que les élèves ne voient pas l'intérêt de ces exercices « trop faciles », s'en désintéressent, et échouent dès lors qu'il faut les réemployer (par exemple, trouver le signe de la dérivée d'une fonction polynôme de degré 2 ; beaucoup d'entre eux ne reconnaissent pas la fonction affine). J'ai l'impression que certains croient que faire des maths, c'est calculer. Les dessins, ce doit être une lubie du professeur, mais en tant qu'élèves perspicaces, ils décident d'aller à l'essentiel et de les négliger soigneusement.



Mon objectif est que mes élèves aient en tête l'allure des fonctions de référence. Ils doivent pouvoir les visualiser automatiquement. Pour qu'ils prennent l'habitude de raisonner en s'appuyant sur des dessins, je compare les  courbes des fonctions de référence aux figures géométriques de collège.


Cette année, j’ai donc essayé l'approche suivante en 1ère ES : 

Chapitre 1 : Fonctions de référence

Pourquoi des fonctions de référence ?
Tracer des tableaux de signe et des tableaux de variations

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Exercice : Tracer le tableau de signes et le tableau de variations de la fonction dont on donne la courbe représentative :




Pour résoudre un problème de géométrie, on trace une figure pour voir ce qui se passe, or vous connaissez les figures.
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Pour résoudre un problème de fonction, on trace l'allure de la courbe pour voir ce qui se passe, et on connaît les « figures » comme on connaît celles de collège. »

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Exercice:  Compléter

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Bilan
Le bilan est mitigé. Au contrôle de fin de séquence, je constate :

  • Les élèves sont réticents à faire des schémas « à main levée ». Ils se sentent obligés de prendre la règle pour tracer deux axes, ils s'y reprennent à trois coups de crayon pour tracer la courbe de la fonction racine... Est-ce que cela traduit « trop de soin », ou une incompréhension sur le fond de ce que signifie « tracer l'allure de la courbe » ?

  • Dès qu'ils pensent le pouvoir, les élèves utilisent le calcul. S'ils adoptent assez vite la résolution graphique à la calculatrice graphique, pour des fonctions pour lesquelles ils n'ont aucun outil de résolution analytique, ils l'évitent lorsqu'ils pensent pouvoir calculer. Ainsi, résoudre à la calculatrice graphique x^4+3x^3+2x+1=5 sera fait par une bonne part des élèves, alors que résoudre √(x)+2<1 , qui se résout graphiquement élégamment, donne des résolutions totalement fausses en appliquant (illégalement) la fonction carré aux deux membres de ''inégalité : √(x)<−1 donc x<(−1) 2 ... Or c'est cette deuxième « méthode » qui est majoritairement utilisée...

Je m'interroge sur le bien-fondé de la démarche « résolution graphique » : finalement, cette méthode nécessite peut-être plus de maturité dans le raisonnement que l'application de procédés de résolution « automatiques ». Cela vaut-il le coup d'investir dans ce sens, la majeure partie des maths « évaluées » étant des maths « calculatoires » ? Ne vaut-il pas mieux exploiter ce chapitre pour renforcer des méthodes de calcul algébrique ?

Et pourtant... un collègue de TES me rapporte : « Tes (anciens) élèves dessinent pour voir le signe d'une dérivée de type polynôme de degré 2. C'est vraiment bien ».

J'ai jusqu'en septembre 2016 pour y penser...

Dominica Martin

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